Analysis 2 Website
URL: http://www.math.ru.nl/~landsman/analyse2.html
Lecturer:
prof.dr. N.P. Landsman
landsman@math.ru.nl , office N2019c, tel. (36)52874, Spreekuur T.B.A.
Lectures (hoorcollege):
2005, Week 36-41, 45-51, 2-3; Tuesdays, 10:45-12:30, Room A2041
Book:
Mathematical Analysis 2 by V. Zorich (Springer, Berlin, 2004)
Exercise class (werkcollege)
Week 36-41, 45-51, 2-3; Mondays, 15:45-17:30, Room A2041
Led by drs. Peter Hochs, hochs@math.ru.nl office N2017a, Tel. (36)52485, Spreekuur Wednesday 10:30-12:00
Schedule
6 September (lecture): 9.1 and 9.2
12 September (exercises): 9.1.5. no 3abcd (*), 9.2.4 no. 2a (**), 2b (*), 2c(*), 3a (*), 3b (***)
13 September (lecture): 9.2 (end) and 9.3
19 September (exercises): 1) Geef het bewijs van Lemma 1 in par. 9.3.1 (pag. 16) in eigen woorden weer (*); 2) 9.3.3.2 (*) en 9.3.3.3 (*); 3) 9.3.3.4 (**)
20 September (lecture): 9.5.1 and 9.5.2
26 September (exercises):
1) * Maak het bewijs (op p. 22) van Example 4 in 9.5.1 af door te laten zien dat $f_n$ convergeert naar $f$ in de metriek $d$ gegeven door (9.9).
2) * Geef een volledig bewijs van Example 5 in 9.5.1 op pp. 22-23. (Waar Zorich bijv. zegt: "it follows immediately..." willen wij de details zien!)
3) * Ter completering van het bewijs van Proposition 2 uit 9.5.2 op pp. 26-26:
i) Laat zien dat de metriek $d$ - zie (9.19) - goed gedefinieerd is (in de zin dat deze onafhankelijk is van de keuze van $x_n'$ en $x_n"$).
ii) Laat zien dat $(S,d)$ volledig is: maak daartoe het bewijs van Zorich af door zijn zin "...converges by virtue of relation (9.19)." in detail uit te leggen.
27 September (lecture): 9.6.1 and 9.6.2
3 Oktober (exercises):
1a. (*) Stel $f:X-> Y$ is een functie van een verzameling $X$ met basis $\mathcal{B}$ naar een topologische ruimte $Y$. Bewijs dat als $Y$ Hausdorff is, dan limieten uniek zijn, i.e.
als $\lim_{\mathcal{B}}f(x)=a$ en $\lim_{\mathcal{B}}f(x)=b$, dan $a=b$.
1b) (***) Geef een voorbeeld van een ruimte $Y$ die niet Hausdorff is en van een functie $f:X-> Y$ en een basis op $X$ waarbij de limiet niet uniek is.
2. (*) Bewijs Proposition 2 op p. 30 van Zorich II in par. 9.6.1 (i.e. het Cauchy-criterium voor limieten)
3a). (*) Geef de definitie van convergentie van een rij in een metrische ruimte en in een willekeurige topologische ruimte.
3b). (*) Toon aan dat een continue functie "limieten behoudt" in de zin dat voor convergente rijen $(x_n)$ geldt:
$\lim_{n\rightarrow\infty} f(x_n)=f(lim_{n\rightarrow\infty})$.
Doe dit eerst voor een metrische ruimte en dan voor een willekeurige topologische ruimte
4 October (lecture): 10.1 and 10.2.1, 10.2.2
10 October (exercises):
1a) * Ga na dat de norm $||x||$ die door een inproduct $(x,y)$ op een vectorruimte $V$ wordt gedefinieerd
d.m.v. $|| x ||^2 = (x,x)$
voldoet aan:
$|| x+y ||^2 + || x-y ||^2 = 2|| x ||^2 +2|| y ||^2$
b) ** Bewijs het omgekeerde: als een norm aan deze gelijkheid voldoet, dan is er een inproduct op $V$ zodat
$|| x ||^2 = (x,x)$.
2 * Laat zien dat een metriek $d$ op vectrorruimte $V$ afkomstig is van een norm volgens $d(x,y) = || x-y ||$
desda: 1) $d(x+v,y+v)=d(x,y)$ voor alle $x,y,v$ in $V$;
2) $d(tx,ty)= |t| d(x,y)$ voor alle $x,y$ in $V$ en $t$ in $R$ of $C$.
3 *= 1a) uit 10.2.4
11 October (lecture): 10.2.3, 10.3
7 November (exercises):
1) 10.2.4. no 4 abc (*)
2a) * Bewijs in detail dat de reeks (10.37) op p. 68 convergeert;
b) * bewijs in detail (10.38) op p. 68
3) ** BONUSOPGAVE bewijs in detail en zonder externe referenties Proposition 2 op p. 67.
8 November (lecture): 10.5 and 10.6
15 November (exercises): exercise class on Tuesday!!!!
1. (*) 10.5.5.2
Bonusopgave 2. (**) Geef volledig bewijs van Theorem 1 op p. 86 (par. 10.6.1).
als dit niet direct lukt, doe dan 10.6.4.1, die een soortgelijk resultaat bewijst.
3. (*) 10.6.4. 3 a&b
14 November (lecture): Lecture on Monday!!! 10.7
21 November (exercises):
1) Leg uit hoe de inverse-functie stelling een speciaal geval is van de impliciete-functie stelling:
a) In eindige dimensie (zie Zorich Vol. I 8.6.1 pp. 498-99 of Marsden&Tromba Theorem 13 in 3.5, p. 253)
b) In het algemeen (zie Zorich II 10.7.1 no. 5a, p. 105).
Geef geen gedetailleerd bewijs maar een uiteenzetting waaruit blijkt wat er aan de hand is.
2) 10.7.1 no. 4a
3) Bonusopgave: 10.7.1. no 7 (**)
22 November (lecture): 11.1 - 11.4
28 November (exercises):
1) Rechtvaardig alle ongelijkheden in de keten van afschattingen op pp. 128-129.
2) 11.3.4.2 a en b (Hint: Analyse 1!!)
3) ** Bonusopgave: 11.2.4.4 a en b. N.B. de "content" van een verzameling is de Jordan maat zoals ingevoerd op p.119.
22 November (lecture): 11.5 - 11.6
5 December (exercises):
1) 11.5.8. no. 9 a&b *
2) 11.5.8. no. 9 c (bonusopgave) **/***
3) 11.6.4. no 3 b&c */**
6 December (college): 12.1 - 12.2
12 December (werkcollege)
1) 12.1.1. no 1 abc (*) - maak de opgave voor twee van de vier verzamelingen $E_{\alpha}$ naar eigen keuze.
2) 12.2.1 no 2 a (*) en b (**)
b is de bonus-opgave maar probeer hem in elk geval! Ter orientatie (sic): maak met papier schaar en lijn een Moebius-band.
3) 12.2.1 no 3d (*)
Lecture notes: Lecture Notes
12.3 - 12.4
15 December (college)
8.7.3
12 December (werkcollege)
Over 12.3:
1) (*) 12.3.3.1 abc
Over 12.4:
2) (*/**) Leid af uit (12.10) op p. 187:
- (12.8)
- de tweede grote formule $\sigma = ..." op p. 188
- de formule in opgave 12.4.1.1. c (die stond in iets andere notatie ook op het bord).
Over 8.7.3 uit Vol. I: (*/**)
3) Gebruik Lagrange-multiplicatoren om te bewijzen dat van alle
driedimensionale blokken met een gegeven oppervlakte, een kubus de
grootste inhoud heeft. (Bonus-opgave)
THE END