Instituut voor Wiskunde     IMAPP     Zoeken 18 april 2005, e-mail

Magische vierkanten

Ruim vierduizend jaar geleden ontdekte men in China dat het mogelijk is getallen zo te rangschikken in een vierkant dat de som van alle getallen in iedere rij, kolom en hoofddiagonaal gelijk is aan dezelfde constante, de zgn. magische som. Het eerste magisch vierkant dat men vond was

8 1 6
3 5 7
4 9 2


welke als magische som 15 heeft.

Het eerste 4 bij 4 magische vierkant verscheen rond 1100 in India

7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4


Dit vierkant laat zien dat men al meer kennis van magische vierkanten had: niet alleen is de som der getallen in iedere rij, kolom en hoofddiagonaal 34, maar ook de som der "gebroken diagonalen" is gelijk aan 34 zoals 2+3+15+14=16+6+1+11=2+12+15+5=34 enz. Maar er zitten nog meer magische eigenschappen in dit vierkant!

Toch zijn er na ruim vierduizend jaar studie aan een van de oudste (mischien wel het oudste!) onderwerp uit de wiskunde nog heel wat vragen onbeantwoord. Recentelijk werd aan de Universiteit van Nijmegen, in samenwerking met de University of Michigan, een van deze vragen opgelost: namelyk de vraag over er zgn. multi-magische vierkanten bestaan. Om uit te leggen wat een multi-magisch vierkant is spreken we af dat de p-de macht van een vierkant precies dat getallen vierkant is dat verkregen is door ieder element uit dat vierkant tot de p-de macht te verheffen. Byvoorbeeld de derde macht van het (niet magische) vierkant

3 4
2 3


is

27 64
8 27


Een magisch vierkant heet nu byvoorbeeld 4-magisch als ook de 2-de, de 3-de en de 4-de macht van het vierkant magisch zyn!! Pas in 2001 werden er door twee Franse wiskundigen het eerste 4-magisch en zelfs een 5-magisch vierkant gevonden. In december 2003 werd door een Chinees wiskundige nog een 6-magisch vierkant ontdekt.

Het Nijmeegse resultaat laat zien hoe je ook willekeurige 7-magische 8-magische enz. vierkanten kunt maken!

De methode die we in deze cursus bespreken om magische vierkanten te maken is in grote lijnen dezelfde als die we gebruikt hebben voor de oplossing van bovenvermelde constructie van multi-magische vierkanten.

Als je alvast wat meer over magische vierkanten te weten wilt komen kijk dan vooral eens op:

www.puzzled.nl

Ook interessant zijn:

http://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.html
http://www.informationblast.com/Magic_square.html

Er is ook onlangs een nieuw boek over magische vierkanten verschenen:

Cliff Pickover, The Zen of Magic Squares, Circles ans Stars.
(Princeton, New Jersey, Princeton Univ. Press, 2002).


* Krommen
* De ongelijkheden van Bell